포아송 방정식

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정의와 물리적 의미

포아송 방정식은 정전계에서 전하밀도 와 전위 V의 공간적 관계를 나타낸다. 균일하고 등방적인 유전율 을 가정하면 ^2 V=- 여기서 V의 단위는 V, 의 단위는 C/m^3, 의 단위는 F/m이다. >0이면 전위의 라플라시안은 음수이며, 전위의 곡률과 전하밀도가 직접 연결된다.

맥스웰 방정식으로부터 유도

정전계에서 가우스 법칙과 구성방정식, 전위의 정의는 각각 D&=, D&= E, E&=- V 이다. 대입하면 (- V)=. 유전율이 일정할 때 ^2V=-/ 가 된다. 공간적으로 유전율이 변하는 매질에서는 다음 일반식을 사용해야 한다. =-

좌표계별 포아송 방정식

직교좌표계

^2V x^2+^2V y^2+^2V z^2=-

원통좌표계

1r r(r V r) +1r^2^2V^2+^2V z^2 =-

구면좌표계

1r^2 r(r^2 V r) +1r^2( V) +1r^2^2^2V^2 =-

1차원 일반해

와 이 일정하고 전위가 x에만 의존할 때 d^2Vdx^2=- 이다. 두 번 적분하여 dVdx&=- x+C_1, V(x)&=-2x^2+C_1x+C_2 를 얻는다. 전기장은 E_x(x)=-dVdx= x-C_1 이다. 즉, 균일한 전하밀도에서는 전위가 이차함수이고 전기장은 일차함수이다.

경계조건을 적용한 전위 및 전기장

길이 L의 영역에 일정한 양의 전하밀도 _0가 있고 V(0)=V(L)=0이라고 가정한다. 첫 조건에서 C_2=0, 둘째 조건에서 C_1=_0L/(2)이므로 V(x)&=_02x(L-x), E_x(x)&=_0(x- L2). 중앙 x=L/2에서 전기장은 0이고 전위는 최대이다. V_=_0L^28 전기장은 중심을 기준으로 양쪽 바깥 방향을 향한다.

라플라스 방정식과의 관계

전하가 없는 영역에서는 =0이므로 ^2V=0 이 된다. 이를 라플라스 방정식이라 한다. 1차원에서는 V(x)=Ax+B이고 E_x=-A로 일정하다.

3차원 그린함수 해

무한하고 균일한 매질에서 전하밀도가 국소적으로 분포하고 무한원점에서 전위가 0이라는 조건을 적용하면 V( r)=14_ R^3 ( r')| r- r'|\,d^3r' 이다. 전기장은 E=- V에서 구한다. E( r)=14_ R^3 ( r') r- r'| r- r'|^3\,d^3r' 유한 영역이나 도체가 있는 문제에는 해당 경계조건을 만족하는 그린함수 또는 수치해석이 필요하다.

반도체의 포아송 방정식

반도체의 공간전하밀도는 전자 n, 정공 p, 이온화 도너 N_D^+, 이온화 억셉터 N_A^-에 의해 =q(p-n+N_D^+-N_A^-) 로 주어진다. 따라서 유전율이 일정한 반도체에서는 ^2V=- q_s(p-n+N_D^+-N_A^-) 이다. 실제 소자에서 n과 p는 전위에 의존하므로 연속방정식 및 드리프트--확산 방정식과 함께 연립하여 푼다.

급격한 PN 접합의 공핍근사

접합면을 x=0으로 두고 P형 공핍영역을 -x_p<x<0, N형 공핍영역을 0<x<x_n으로 둔다. 완전 이온화 및 공핍근사에서 (x)= -qN_A,&-x_p<x<0, qN_D,&0<x<x_n, 0,&공핍영역 밖의 중성영역. 포아송 방정식은 dE_x/dx=/_s와 동등하다. 양쪽 공핍 경계에서 전기장이 0이라는 조건을 적용하면 E_x(x)= -qN_A_s(x+x_p),&-x_p x0, [5pt] qN_D_s(x-x_n),&0 x x_n. 접합면에서 전기장의 연속성에 따라 N_Ax_p=N_Dx_n 이라는 전하중성 조건을 얻는다.

PN 접합의 전위, 공핍층 폭과 최대 전기장

공핍영역의 전위강하는 V_dep=-_-x_p^x_nE_x\,dx이므로 V_dep= q2_s(N_Ax_p^2+N_Dx_n^2) 이다. W=x_p+x_n과 전하중성 조건을 사용하면 x_p&=N_DN_A+N_DW, x_n&=N_AN_A+N_DW. 이를 전위강하 식에 대입하여 W=2_sq (1N_A+1N_D)V_dep 를 얻는다. 접합면에서 전기장 크기가 최대이며 |E_|=qN_Ax_p_s =qN_Dx_n_s=2V_depW 이다. 열평형에서는 V_dep=V_bi이다. 이상적인 저주입 공핍근사에서 순방향 전압 V_a가 걸리면 V_dep V_bi-V_a로 쓸 수 있다.

결론

포아송 방정식은 전하밀도에서 전위 분포를 계산하고 전위의 기울기로 전기장을 구하는 정전계 해석의 기본 방정식이다. 균일한 전하밀도의 1차원 문제는 해석적으로 적분할 수 있으며, 실제 반도체 소자에서는 전하밀도와 전위의 상호의존성 때문에 연립방정식 및 수치해석을 사용한다.