반도체 드리프트 및 확산

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서론

반도체에서 전하 운반자인 전자와 정공은 전기장 및 농도 구배에 의해 이동한다.

전기장에 의한 이동을 드리프트(Drift), 농도 차이에 의한 이동을 확산(Diffusion) 이라고 한다.

전체 전류밀도는 두 전류의 합이다.

J = J_drift + J_diff

드리프트 전류

전기장 E가 가해지면 전하 운반자는 힘을 받는다.

F=q_cE

여기서 q_c는 운반자의 부호를 포함한 전하이다.

전자와 정공의 평균 드리프트 속도는

v_n &= -_nE v_p &= _pE

전자와 정공의 드리프트 전류밀도는

J_n,drift &=qn_nE J_p,drift &=qp_pE

따라서 전체 드리프트 전류밀도는

J_drift = q(n_n+p_p)E

여기서 q는 양의 기본전하량, n,p는 전자와 정공의 농도, _n,_p는 이동도이다.

확산 전류

농도 구배에 따른 입자 플럭스는 픽의 제1법칙으로 표현된다.

_n &=-D_n n _p &=-D_p p

전자는 음전하, 정공은 양전하이므로 확산 전류밀도는 다음과 같다.

J_n,diff &=qD_n n J_p,diff &=-qD_p p

따라서 드리프트와 확산을 모두 고려하면

J_n = qn_nE + qD_n n

J_p = qp_pE - qD_p p

아인슈타인 관계식

열평형에서 비축퇴 반도체의 전자 농도는 볼츠만 분포를 따른다.

n(x)=n_0 (q(x)k_BT)

여기서 전기장과 전위의 관계는

E_x=-ddx

열평형에서 전자 전류는 0이다.

0=qn_n E_x+ qD_ndndx

전자 농도식을 미분하면

dndx = qnk_BT ddx

이를 전류식에 대입하면

0= -qn_nddx + q^2nD_nk_BT ddx

따라서 아인슈타인 관계식은

D_n_n = D_p_p = k_BTq

단, 이 관계식은 비축퇴 반도체와 열평형의 일반적인 조건에서 성립한다.

연속방정식

전하 보존 법칙에 의해 전자와 정공의 연속방정식은 다음과 같다.

n t = 1qJ_n +G_n-R_n

p t = -1qJ_p +G_p-R_p

여기서 G는 생성률, R은 재결합률이다.

포아송 방정식

맥스웰 방정식의 가우스 법칙은

D=

이다. 균일한 유전율을 갖는 반도체에서 D=E 이고 E=-이므로

^2=-

전하밀도는 완전히 이온화된 도핑을 가정하면 다음과 같다.

=q(p-n+N_D^+-N_A^-)

따라서

^2 = -q (p-n+N_D^+-N_A^-)

드리프트--확산 연립방정식

반도체의 전기적 거동은 다음 방정식을 동시에 풀어 해석한다.

() &=-q(p-n+N_D^+-N_A^-) [6pt] J_n &=qn_nE +qD_n n [6pt] J_p &=qp_pE -qD_p p [6pt] n t &=1qJ_n +G_n-R_n [6pt] p t &=-1qJ_p +G_p-R_p

이 연립방정식은 반도체 소자의 수치 시뮬레이션에 사용된다.

PN 접합의 내장전위

급격한 PN 접합의 열평형 상태에서 내장전위는 다음과 같다.

V_bi = k_BTq ( N_AN_Dn_i^2 )

여기서 N_A는 억셉터 농도, N_D는 도너 농도, n_i는 진성 캐리어 농도이다.

이 식은 비축퇴, 완전 이온화 및 열평형을 가정한다.

공핍층 폭

급격한 PN 접합에서 공핍 근사를 적용하면 공핍층의 전체 폭은

W= 2_sq ( N_A+N_DN_AN_D ) (V_bi-V_a)

여기서 V_a는 순방향 인가전압이다.

결론

드리프트--확산 이론은 전기장과 농도 구배에 의한 전하 운반자의 이동을 설명한다.

포아송 방정식과 연속방정식을 결합하면 PN 접합, 다이오드, BJT 및 MOSFET의 전기적 특성을 해석할 수 있다.