슈뢰딩거 방정식의 수학적 유도와 양자우물 해석, large 파동함수, 확률밀도 및 에너지 준위의 시각화

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개요 및 기본 개념

슈뢰딩거 방정식은 비상대론적 양자계의 상태를 기술하는 기본 방정식이다. 파동함수 ( r,t)의 절댓값 제곱 ||^2은 위치 확률밀도이다. =h/(2)는 환산 플랑크 상수, m은 입자 질량, U는 퍼텐셜 에너지이다. 전위 와 퍼텐셜 에너지는 전하 q에 대해 U=q로 연결된다.

시간 의존 슈뢰딩거 방정식

i( r,t) t=( r,t) 운동량 연산자 p=-i와 고전적 에너지 관계 H=p^2/(2m)+U를 대응시키면 해밀토니안 연산자 H=-^2^2/(2m)+U를 얻는다. 이 연산자를 시간 진화 방정식 i_t= H에 대입한다. 이는 고전역학으로부터의 엄밀한 증명이 아니라 양자역학의 기본 가정에 기초한 구성이다.

변수분리와 시간 독립 방정식

U( r)가 시간에 무관하면 ( r,t)=( r)T(t)를 대입하여 i1TdTdt=1=E 를 얻는다. 따라서 T(t)&=e^-iEt/, -^22m^2+U=E& ( H=E). 정상상태에서는 |( r,t)|^2=|( r)|^2이므로 확률밀도가 시간에 따라 변하지 않는다.

1차원 자유입자

U(x)=0이고 E>0인 영역에서는 d^2dx^2+k^2=0, k=2mE. 일반해는 (x)=Ae^ikx+Be^-ikx이며, 두 항은 각각 오른쪽과 왼쪽으로 진행하는 파동을 나타낸다.

1차원 무한 퍼텐셜 우물

U(x)=0,&0<x<L, ,&x0 또는 x L. 우물 내부의 일반해는 (x)=A(kx)+B(kx)이다. 경계조건 (0)=(L)=0에서 B=0이고, 영이 아닌 해를 위해 (kL)=0이어야 한다. 따라서 k_n=nL, n=1,2,3, 이다. n=0은 영함수만 만들기 때문에 허용되지 않는다.

에너지 고유값

E_n=n^2^2^22mL^2=n^2E_1, E_1=^2^22mL^2 우물 폭이 절반이 되면 모든 에너지 준위는 네 배가 된다. 인접 준위 차이는 E_n+1-E_n=(2n+1)E_1이다.

정규화된 파동함수와 확률밀도

_0^L|_n(x)|^2dx=1을 적용하면 _n(x)=2L(n xL) P_n(x)=|_n(x)|^2=2L^2(n xL). 확률밀도의 단위는 1차원에서 m^-1이다. 구간 a x b에서 발견할 확률은 _a^bP_n(x)dx이다.

파동함수 그래프

세로축은 _n/2/L, 가로축은 x/L로 정규화하였다. [width=0.92,height=7cm,xlabel=x/L,ylabel=_n/2/L,xmin=0,xmax=1,ymin=-1.15,ymax=1.15,grid=major,legend style=at=(0.98,0.98),anchor=north east,samples=201,domain=0:1] sin(deg(pi*x));n=1 sin(deg(2*pi*x));n=2 sin(deg(3*pi*x));n=3 n번째 상태는 우물 내부에 n-1개의 마디(파동함수가 0인 내부 위치)를 갖는다.

확률밀도 그래프

세로축은 P_n/(2/L)로 정규화하였다. 파동함수의 부호가 달라도 확률밀도는 음수가 될 수 없다. [width=0.92,height=7cm,xlabel=x/L,ylabel=P_n/(2/L),xmin=0,xmax=1,ymin=0,ymax=1.15,grid=major,legend style=at=(0.98,0.98),anchor=north east,samples=201,domain=0:1] sin(deg(pi*x))^2;n=1 sin(deg(2*pi*x))^2;n=2 sin(deg(3*pi*x))^2;n=3

에너지 준위 그래프

에너지 E_n/E_1=n^2를 나타내면 준위 간격이 n에 따라 커짐을 알 수 있다. [width=0.8,height=6.5cm,xlabel=양자수 n,ylabel=E_n/E_1,xmin=0.5,xmax=5.5,ymin=0,ymax=27,xtick=1,2,3,4,5,ytick=0,1,4,9,16,25,grid=major] +[ycomb,mark=*,very thick] coordinates (1,1)(2,4)(3,9)(4,16)(5,25);

기댓값과 불확정성

정상상태에서 대칭성을 이용하면 x=L/2이고, p=0, p^2=n^2^2^2L^2. 위치 분산은 x^2=L^2(112-12n^2^2)이며 x p=n^2^212-122.

반도체 양자우물에의 응용

반도체 전도대 가장자리 부근에서 유효질량 근사를 사용하면 일정한 유효질량 m^*를 갖는 1차원 이상적 양자우물의 준위는 E_n-E_c=n^2^2^22m^*L^2 로 근사된다. 여기서 E_c는 우물 내부의 전도대 바닥 에너지이다. 실제 유한 장벽에서는 파동함수가 장벽 내부로 침투하며 경계조건과 에너지 준위가 달라진다. 위치에 따라 유효질량이 변하면 단순한 m m^* 치환 대신 적절한 유효질량 연산자와 계면 경계조건을 적용해야 한다.

결론

슈뢰딩거 방정식의 경계값 문제를 풀면 허용된 파동함수와 이산적인 에너지 준위를 구할 수 있다. 무한 퍼텐셜 우물은 반도체 양자우물, 나노구조 및 양자 구속 효과를 이해하기 위한 기본 모델이다.